思考永生问题时，想到一个“相对论永生”的概念：如果一个人向黑洞滑落，由于越接近黑洞的事件视界（光线不能逃逸的边界），时间流逝越慢，在地球上的观察者看来，这个人会逐渐冻结在事件视界附近，他滑落到事件视界的时间是无穷大。所以在地球人看起来，这个人已经实现了永生（理想实验，不考虑引力潮汐造成的死亡等问题）。
这个概念乍一看很像古希腊哲学家芝诺提出的阿基里斯（Ἀχιλλεύς Achilles）追不上🐢的悖论：阿基里斯是古希腊第一勇士，跑得最快，追一只领先他一段距离的🐢，这个初始距离用 A 代替。当阿基里斯追上了第一段距离 A，🐢又往前跑了第二段距离 B；阿基里斯往前追了一段距离 B，🐢往前跑了一段距离 C。这样无限循环，阿基里斯永远也追不上🐢。
本文是关于这两个概念的讨论，和一些引申话题。
特别说明：本文很多结论来自芝诺的悖论和从巴门尼德到康德—漫谈理性主义哲学。
两个概念的讨论
先来看相对论永生，这个只是看起来比较神奇，但因为大家对相对论有普遍的认知，都知道时间流逝的速度在引力不同的地方有区别。仔细思考之前，可能会觉得这个人会立马被黑洞吸进去，用公式分析过后，就知道跌落的时间是无穷的。
再来看阿基里斯追不上🐢，我们的日常经验告诉我们肯定追得上，经过芝诺这么一通分析，就追不上了。跳出来看，芝诺为阿基里斯增加了空间限制，只能不断达到🐢走过的距离，阿基里斯需要无限次追击，在这个限制之下追不上。
关于追不上🐢悖论，如果按照芝诺的思路，用现代数学的解决方式是无穷级数求和。设初始距离为
阿基里斯的速度为
🐢的速度为
那么，阿基里斯追上初始距离花费的时间为
这个时候🐢往前走了
也就是
阿基里斯追上第二段距离花费的时间为
也就是
同理，阿基里斯追上第三段的时间为
以此类推，阿基里斯无限接近于🐢的时间为
这是个无穷级数，同时是个等比数列，由于系数小于 1，所以是收敛的，利用等比数列的求和公式可得：
和初中生利用追击公式计算的结果相同。尽管芝诺将这个追击的空间划分为无限个，追击时间也是有限的，阿基里斯能在有限的时间内追上🐢。
高等数学诞生很久之前，古希腊的亚里士多德（Aristotle, 384BC – 322BC）在《物理学》中就给出过一个非常漂亮的反驳。他发现芝诺只对追击的空间做了无限细分，形成了无限个追击过程，但是没有对时间做无限细分，就断言在有限的时间内无法走过无限个细分的空间距离，如果考虑用被细分为无限片段的时间去匹配无限片段的空间，就可以消除这个断言。亚里士多德的这种对时间同样做无限分割的思路可谓“以子之矛，攻子之盾”，是高招。
亚里士多德还指出，对于时间、空间等连续之物，谈论它们的“无穷”时需区分两种含义：一种是分割意义上的无穷，另一种是延伸意义上的无穷，芝诺混淆了两者所以给出了错误的结论。这种表述与无穷级数的表述异曲同工：“分割意义上的无穷”相当于项数无穷，“延伸意义上的无穷”相当于结果无穷。
为什么悖论看起来挺有道理？
其中一些原因是：人类的语言中有不严谨的地方；用语言描述的论证中也往往有逻辑的不合理跨越。比如追不上🐢的悖论中，芝诺混淆了两种意义的无穷，并由过程的无穷直接推论到时间的无穷。
生活中常见一些简单“悖论”，比如“一个去银行取钱的人 A，遇到了另一个去银行存钱的人 B，A 对 B 说：‘你直接把钱给我，这样我们就都不用排队了。’”。凡事都得深入想想，才能消除误区。
芝诺的这些悖论，绝不是幼稚之论，更不是普通的诡辩，不仅能把普通人绕进去，也引得每个时代的哲学家深入思考。从数学角度讲，芝诺表达的是对无穷的困惑。英国哲学家怀海特（Alfred North Whitehead，1861—1947）曾经评价，虽然所有人都不认同芝诺的结论，但“每个世纪都认为他值得反驳”，这就非常了不起，因为“文字能被每个世纪所反驳乃是成就之巅峰”。
芝诺的另一个悖论：飞箭不动
在引入背后的哲学思想之前，简单探讨下芝诺的另一个著名悖论——飞箭不动：一个飞箭（或者其他运动物体）在每个时刻都占据一个确定的位置，因而是不动的。由于时间由时刻组成，既然飞箭在每个时刻都不动，所以在时间段内也是不动的。所以运动是不可能的。
先来用现代的工具分析。现代速度的定义是
计算瞬时速度需要让时间趋近于 0。芝诺讨论的是时刻，直接让时间等于了 0，这样距离也是 0，并且他定义了 0 / 0 的结果为 0，这在数学上是没有意义的。
亚里士多德对这个悖论也做过反驳：谈论物体的运动或静止，需要依据其在某一个时刻与前一个时刻的比较来确定，芝诺只谈论一个时刻，这样是无法讨论运动问题的。这与现代速度的定义也是异曲同工。
感叹一句，大师就是大师。
巴门尼德和芝诺
芝诺（Zeno，约 490BC – 约 430BC）最为后世所知的就是他的一系列悖论（Zeno's paradoxes），据说他在已经遗失的著作中记录了四十个悖论。少数几个悖论在柏拉图、亚里士多德的著作中引述得以传世。芝诺提出这些悖论是为了支持其老师巴门尼德“运动不存在”的论断。
巴门尼德（Parmenides，约 515BC – 445BC）是古希腊哲学家，有一部著作《论自然》的残篇存世，哲学观点主要有二：
- “存在”存在，“不存在”不存在（Being is, not-being is not）。这是一条关于“存在”的推理逻辑，同时是第一条演绎推理逻辑（区别于科学上常用的归纳推理）。所以巴门尼德被后人尊称为“逻辑学之父”。同时由于他探讨的是关于世界本原的“存在”，也是历史第一人，所以被尊称为“形而上学和本体论之父”。
- 他区分了真理之路和意见之路，认为来自于经验的意见，不是真理，只是幻影。这个观点与同一时代的赫拉克利特（Heraclitus, 540BC – 480BC）的“一切皆流，万物皆变，世界的终极真理是变化，我们能从经验中得出结论”的观点有了分歧，作为理性主义与经验主义的分歧持续至今。前者认为真理的终极来源是思想世界，后者相信真理的终极来源是现实。所以巴门尼德被后人尊称为“理性主义先祖”。
巴门尼德进一步推导出存在的若干性质，其中包括存在是唯一的，并且无边无际没有止境，完全不运动不变化。由于我们每个人都能感觉到运动，所以巴门尼德干脆宣称如果他的理论有悖于感觉，那么说明感觉是虚幻的。这就是完全地重思辨轻实证。大家普遍觉得这种学说很荒谬。
后续笔者会专门写文章介绍巴门尼德的论证过程。
65 岁的时候，巴门尼德带着弟子芝诺到雅典，见到了 19 岁的苏格拉底（Socrates, 470BC – 399BC），对后者提出了很多犀利的无法回答的问题。苏格拉底的弟子柏拉图将发生的对话整理成对话录《巴门尼德》，其中苏格拉底揶揄芝诺为“巴门尼德第二”，算是对其荒谬的“称赞”。
阿基里斯之踵
阿基里斯也有很多有意思的事情。他是古希腊神话中色萨利国王和海洋女神忒提斯（Thetis）的儿子，是半神。出生时，母亲抓着他的脚踝放入冥河中浸泡，使他几乎变得坚不可摧。同时，他有着强大力量与战争智慧，是希腊第一勇士，在某些版本的神话中，他是跑得最快的人，所以出现在芝诺的悖论中和🐢赛跑，以增加戏剧性。
由于阿基里斯在冥河时是被抓着脚踝浸泡，所以脚踝成了他的唯一弱点。在特洛伊战争中，阿基里斯是攻城的一方，特洛伊王子受太阳神阿波罗指点，射中了他的脚踝，致其身亡。所以阿基里斯之踵用来表示致命的弱点。
吐槽一下，这活儿干的真糙啊，就不能再浸泡下脚踝！